Ekstremum Problemleri Ders Notları – Konu Anlatımları

EKSTREMUM PROBLEMLERİ
1. Birinci türevin + dan – ye geçtiği noktada, fonksiyonun yerel maksimum değerini aldığını,
2. Birinci türevin – den + ya geçtiği noktada, fonksiyonun yerel minimum değerini aldığını vermiştik.
Bu iki bilgiyi kullanarak, ekstremum problemlerini (Maksimum, minimum problemlerini) çözebiliriz.
Ancak, “Maksimum, minimum problemleri” için, ikinci bir çözüm yolu olarak, ikinci türevi de kullanabiliriz.
Şöyle ki;
1. Birinci türevin kökü, ikinci türevi negatif yapıyorsa, fonksiyon bu noktada yerel maksimum değerini alır.
2. Birinci türevin kökü, ikinci türevi pozitif yapıyorsa, fonksiyon bu noktada yerel minimum değerini alır.
EKSTREMUM PROBLEMLERİ
Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun) alabileceği en büyük (maksimum) değer ya da en küçük (minimum) değerin bulunması istenir.
İstenen çokluk bir değişkenin fonksiyonu olarak yazılır. Bu fonksiyonun maksimum ya da minimum değeri, birinci türevin kökü (kökleri) bulunarak belirlenir.
Çünkü, fonksiyonun maksimum ya da minimum noktalarında birinci türev (tanımlıysa) sıfırdır.
Uyarı

Çevreleri eşit olan dikdörtgenler içinde alanı en büyük olan dikdörtgen karedir. Bu durum genellenebilir. Şöyle ki: Çevreleri eşit olan üçgenler içinde alanı en büyük olan üçgen eşkenar üçgendir; çevreleri eşit olan beşgenler içinde alanı en büyük olan beşgen düzgün beşgendir; çevreleri eşit olan altıgenler içinde alanı en büyük olan altıgen, düzgün altıgendir.

Uyarı

Bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgen karedir. Bu durum genellenebilir. Şöyle ki: Bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı üçgen eşkenar üçgendir; beşgen, düzgün beşgendir; altıgen, düzgün altıgendir.