Türevin Anlamı Ders Notları – Konu Anlatımı

TÜREVİN ANLAMI
A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI
Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,

fonksiyonu ile verilsin.
Hareketlinin t anındaki hızı:

ve t anındaki ivmesi

olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.
B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

y = f(x) fonksiyonunun A(x₀, y₀) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:
m = tana dır.
Kural

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir. f’(x0) = m = tana dır.

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi, olur.

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi: Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR
1. Artan Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.
Her x₁, x₂ Î B için,
x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.
2. Azalan Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.
Her x₁, x₂ Î B için,
x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.
Uyarı

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

3. Sabit Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.
Her x₁, x₂ Î B için, f(x₁) = f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.
D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ
1. Ekstremum Noktalar

bir fonksiyon ve a, b Î A olsun. Her x Î (a, b) için, olacak şekilde bir p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

Her x Î A için,
olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b Î A olsun. Her x Î (a, b) için, olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

Her x Î A için,
olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.
Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

Yerel minimum değer, f(x₀) dır.
Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

Sonuç

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir. Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi
Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
1. Konveks Eğriler
f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
[a, b] aralığında f ”(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

2. Konkav Eğriler
f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
a, b] aralığında f ”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

3. Dönüm (büküm) Noktası
f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.
Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.
Uyarı

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir. x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir. x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

Uyarı

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir. 1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır. Bu aralıkta f ‘(x) < 0 dır. 2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f ‘(x) > 0 dır. 3. a < x < c için f ”(x) > 0 dır. 4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f ‘(b) = 0 ve f ‘(d) = 0 dır. 5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle, f ”(c) = 0 dır.