Modüler Aritmetik Ders Notları – Konu Anlatımı

MODÜLER ARİTMETİK
a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,
b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}
bir denklik bağıntısıdır.
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) Î b için,
a º b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Ü

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir.
Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve biçiminde gösterilir.
Buna göre,

Ü	n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve a º b (mod m) c º d (mod m) olmak üzere,

1. a + c º b + d (mod m)
   
2. a – c º b – d (mod m)
   
3. a × c º b × d (mod m)
   
4. aⁿ º bⁿ (mod m)
   
5. a – b º 0 (mod m)
   
6. k × a º k × b (mod m) dir.
   
7. n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise dir.
   
8. a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir.
   

deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Ü	Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise, xm–1 º 1 (mod m) dir. x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.
Ü	x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = ak . b r . c p olmak üzere,

m asal sayı ise, (m – 1)! + 1º 0 (mod m) dir.