Çarpanlara Ayırma Ders Notları – Konu Anlatımı

ÇARPANLARA AYIRMA

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

B. ÖZDEŞLİKLER
1. İki Kare Farkı – Toplamı
1) a² – b² = (a – b)(a + b)
2) a² + b² = (a + b)² – 2ab
3) a² + b² = (a – b)² + 2ab
2. İki Küp Farkı – Toplamı
1) a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b² )
2) a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )
3) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
4) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)
3. n. Dereceden Farkı – Toplamı
1) n bir sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ – yⁿ = (x – y)(x^{n – 1} + x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² + … + xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.
2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^{n – 1} – x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² – … – xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.
4. Tam Kare İfadeler
1) (a + b)² = a² + 2ab + b²
2) (a – b)² = a² – 2ab + b²
3) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
4) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere, • (a – b)2n = (b – a)2n • (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

5. (a ± b)ⁿ nin Açılımı
Pascal Üçgeni

(a + b)ⁿ açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.
Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.
(a – b)ⁿ yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 • (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4 • (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

• a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1) • a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2) • a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

C. ax² + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI
ax² + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.
1. YÖNTEM
1. a = 1 için,
b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2. a ¹ 1 İken
m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax² + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.
2. YÖNTEM
Çarpımı a × c yi,
toplamı b yi veren iki sayı bulunur.
Bulunan sayılar p ve r olsun.
Bu durumda,

daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.