KARTEZYEN ÇARPIM

Konu: KARTEZYEN ÇARPIM Ptsi Haz. 14, 2010 5:53 pm

KARTEZYEN ÇARPIM:

SIRALI İKİLİ :
a ve b elemanlarının belirttiği ( a , b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili
denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin
değişmesindendir.
Yani : (a , b ) ≠ (b , a ) dir.
A
B
x
O
y
3
3
1
1

Örnek :
A( 1 , 3 ) noktası ile B( 3 , 1 ) noktası eşit noktalar değildir.
Noktalar kümesinin elemanları sıralı ikililerdir.

( a , b )
ikinci
bileşen
birinci
bileşen
Sıralı ikililerin bileşenleri birinci bileşen, ikinci bileşen olarak
adlandırılır.

Sıralı İkililerin Eşitliği :
Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit
olmalıdır.
Yani (x , y ) = (a , b ) ise x = a ve y = b
ÖRNEK :
( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4 ) ise x ve y sayıları kaçtır?
Çözüm :
Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit
olmalıdır.

Yani x +3 = 6 y – 1 = 4
x = 6 – 3 y = 4 + 1
x = 3 ve y = 5 bulunur.

( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4 )

1. ( x + 3 , y + 1 ) = ( 1 , 2 ) ise x = ? ve y = ?
2. ( 2x , y - 5 ) = ( 8 , -3 ) ise x = ? ve y = ?
3. ( x/2 , 3y ) = ( 6 , 0 ) ise x = ? ve y = ?
4. ( 2x + 1 , 4 ) = ( 7 , y - 2 ) ise x = ? ve y = ?

ÖDEV 1 :

KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A’ dan, ikinci bileşeni B’
den alınarak oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin kümesine, A ile B’ nin
kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Buna göre;
şeklinde gösterilir.
ÖRNEK : A = {1,2 } , B = {3,a} olduğuna göre A x B ve BxA kümelerini yazınız.
ÇÖZÜM :
AxB ≠ BxA
AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) }
BxA = {(3 ,1), (3,2 ), (a ,1), (a , 2)}
AxA = {(1,1), (1,2), (2 ,1), (2 ,2) }

ÖRNEK : Aynı futbol takımında oynayan Ali, Sertaç ve Tamer, 7, 10 ve 11
numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların seçebilecekleri formaları
gösteren sıralı ikilileri yazalım.
ÇÖZÜM : A kümesi A = { Ali , Sertaç , Tamer } = { A , S , T }
B kümesi B = { 7 , 10 , 11 }
A X B = { (A, 7 ), (A, 10), (A, 11 ), (S,7 ), (S,10 ), (S,11 ), (T, 7 ), (T, 10
), (T, 11 ) }

Kartezyen çarpımın analitik düzlemde gösterilmesi
Kartezyen çarpıma katılan kümeler sayı kümesi olursa sıralı ikililer nokta
gösterir. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri x ekseni üzerinde, ikinci
bileşenleri y ekseni üzerinde işaretlenir.
x
O
y
2
1
1
-1
ÖRNEK : A = { -1, 1, 2 } , B = { 0, 1 } olduğuna göre A x B kümesini analitik
düzlemde gösterelim.
ÇÖZÜM :
A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2 , 1 )}

ÖRNEK : A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2 , 1 )}
kartezyen çarpımını oluşturan A ve B kümelerini yazalım.
ÇÖZÜM : Birinci bileşenler A kümesini, ikinci bileşenler B kümesini oluşturur.
Tekrar eden eleman küme içine bir kez yazılır.
A kümesi A = { -1, 1 , 2 }
B kümesi B = { 0, 1 }
ÖRNEK : A X B = { ( 0 , 0 ), ( 0 , 1), ( 0 , 2 ), ( -3 , 0 ), ( -3 , a ), (-3 ,
2 )} kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır?
ÇÖZÜM : 0 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri 0, 1, 2 dir. –3 ile
başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri de 0, 1, 2 olmalıdır. Bu nedenle a
elemanı 1 olmalıdır.
Yanda AXB kümesinin grafiği verilmiştir. Buna göre ;
AUB = ?
A∩B = ?
A / B = ?
O
x
y
2
1
-1
3
-3
2
1
ÖRNEK :

ÇÖZÜM : Noktaların apsisleri A kümesinin elemanlarını, noktaların ordinatları B
kümesinin elemanlarını verir.
A kümesi A = { -1, 1 , 2 , 3 }
B kümesi B = { -3 , 0, 1 , 2 }
AUB = { -3 , -1, 1 , 0 , 2 , 3 }
A∩B = { 1 , 2 }
A / B = { -1, 3 }

1. A = { 0, 1, 2 ) ve B = { -2, 2 } ise AXB = ?
2. A = { -2, 0, 3 ) ve B = { -1, 0, 1 } ise AXB = ?
3. A = { 2, 3, 4, 5 ) ve B = {6 } ise AXB = ?
4. A = { -1, 1, 2 ) ve B = { -3, 2, 5 } ise AXB çarpımını analitik
düzlemde gösteriniz.
5. A X B = { (A, 2 ), (A, 5), ( B, 2 ), ( B, 5 ), ( C, 2 ), ( C, 5 ) } ise
A ve B kümelerini yazınız.
6. A X B = { ( 2 , 2 ), ( 2 , 5), ( 2 , 8 ), ( 3 , 2 ), ( 3 , 5 ), ( 3 , 8
), ( a , 2 ), ( 4 ,5 ),( 4 , 8 ) } kartezyen çarpımında a ile gösterilen
sayı kaçtır?
7. A X B = { (-3, -2 ), (-3, 1), ( 0, -2 ), ( 0, 1 ), ( 2, -2 ), ( 2, 1 )
} ise AUB kümesini yazınız.

google_protectAndRun("ads_core.google_render_ad", google_handleError, google_render_ad);

Konu: Geri: KARTEZYEN ÇARPIM Ptsi Haz. 14, 2010 5:54 pm

ÖDEV 2 :

KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ
S(A) ; A kümesinin eleman sayısını göstermektedir.
1) s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B)
2) A≠B ise AxB ≠ BxA değişme özelliği yoktur.
3) (AxB)xC = Ax(BxC) birleşme özelliği vardır .
4) Ax(BUC) = (AxB)U(AxC)
5) Ax(B ∩C) = (AxB) ∩ (AxC)
6) AxA = A²

ÖRNEKLER
1. A = { 2, 5 } , B= { -1, 1, 3 } ve C = { 0, 4 } ise (AxB)U(AxC) kümesini
bulalım.

ÇÖZÜM : (AxB)U(AxC) = Ax(BUC) olduğundan önce BUC kümesini buluruz.

BUC = { -1, 0, 1, 3, 4 }

Ax(BUC) = { ( 2, -1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 5, -1 ), (
5, 0 ), ( 5, 1 ), ( 5, 3 ), ( 5, 4 )}

2. A, B ve C üç kümedir. s(BUC) = 4 ve s[Ax(BUC)] = 32 olduğuna göre A
kümesinin kaç elemanı vardır?
ÇÖZÜM : s[Ax(BUC)] = S(A). S(BUC) = 32
S(A). 4 = 32
S(A ) = 32:4 = 8
elemanı vardır.
3. A = { x : 2 < x < 5 ve x tam sayı } , B = { x : -1 < x < 7 ve x
tam sayı } ise Ax(B∩A) kümesinin eleman sayısını bulalım.
ÇÖZÜM :
A = { x : 2 < x < 5 ve x tam sayı } = { 3 , 4 }

B = { x : -1 < x < 7 ve x tam sayı } = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

B∩A = { 3 , 4 } ve
s [Ax(B∩A)] = s(A).s(B∩A) = 2.2 = 4 bulunur.
1. A = { 0, 1, 3, 5 } , B = { -1, 1, } ve C = { 2, 3, 5 } ise
Ax(BUC) kümesini bulunuz.
2. A , B ve C üç kümedir. s(B∩C) = 5 ve s[Ax(B∩C)] = 45 olduğuna göre
A kümesi kaç elemanlıdır?
3. AXB = { ( 0, -1 ), ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 3 ), ( 0, 4 ), ( 3, -1 ), (
3, 0 ), ( 3, 1 ), ( 3, 3 ), ( 3, 4 )}
olduğuna göre A∩B = ?
4. A = { x : -2 < x < 2 ve x tam sayı } ve B = { x : -5 < x
< 0 ve x tam sayı } kümeleri veriliyor. (AxB) ∩ (AxC) kümesini bulunuz.

ÖDEV 3

BAĞINTI

Günlük hayatımızda bağıntı sözcüğünü sıkça kullanırız. Matematikte kartezyen
çarpımın alt kümelerine Bağıntı denir.

Tanım : A ve B herhangi iki küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine , A’ dan B’
ye bir bağıntı denir.

UYUMA :
AxA ‘ nın her alt kümesine A’ dan A’ ya bir bağıntı ya da A’ da bir bağıntı
denir.

ÖRNEK : AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } kartezyen çarpımının 4 tane
elemanı vardır.
Bu kümenin alt kümeleri sayısı 24 = 16 ‘dır.
O halde A ‘ dan B ‘ ye 16 tane bağıntı tanımlanabilir.
Örneğin
β1 = {(1,3), (1,a) } ve β2 = { (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } alt kümeleri A dan B ye
birer bağıntıdır.

SONUÇ : s(A) = m ve s(B) = n ise A dan B ye tanımlanabilen bağıntı sayısı 2m.n
tanedir.

ÖRNEKLER

1. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x + y = 2 } bağıntısının sıralı
ikililerini yazalım.

ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde olan ve x ile y nin toplamı 2 olan sıralı
ikilileri yazın diyor.

Bunlar: β = {(0,2), (1,1), (2,0) } olur

2. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x > y } bağıntısının sıralı
ikililerini yazalım.

ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde ve x in y den büyük olduğu sıralı ikilileri
yazın diyor.
Bu sıralı ikililerin tümünü yazamayız.

Bu nedenle β = {(1,0), (2,0), (3,0),..., (2,1), (3,1), (4,1),..., } şeklinde bu
bağıntının sıralı ikililerini gösterebiliriz.

3. Reel sayılar kümesinde β = { (x,y) | l x l = 3 ve x+2> y > 0 }
bağıntısının gösterdiği alan kaç birim karedir?

ÇÖZÜM : l x l = 3 demek x = ± 3 demektir.
x = 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani 5 > y > 0
olur.
x = - 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani -1> y > -3
olur.
Bölge bir kenarı 6 birim olan karedir. Alanı 6x6 = 36 olur.

Bağıntının Özellikleri

Yansıma Özeliği

TANIM : Her eleman kendisi ile bağıntılı ise bu bağıntıya yansıyan bağıntı
denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazılışı şöyledir.
β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her x elemanı için ( x , x )
Є β olursa β bağıntısı yansıyandır.

ÖRNEK
İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ eşit boylu olma “ bağıntısı olsun.
Bu bağıntı yansıyandır. Çünkü her insan kendisi ile eşit boydadır.

ÖRNEK
β = { (x , y) | y > x , ve x ile y doğal sayı } bağıntısı yansıyan olamaz.
Çünkü doğal sayılar kümesinde hiçbir doğal sayı kendisinden büyük olamaz.
Bu bağıntının elemanlarını yazalım. β = { (1 , 0), (2 , 0), (3 , 0), (4 , 0),
(5 , 0),... }
Beta bağıntısında (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) şeklinde sıralı
ikililer yoktur.
Beta bağıntısı yansıyan değildir.

Simetri Özeliği

TANIM : Tanım kümesinden alınan iki eleman x ve y olsun. x ile y bağıntılı iken
y ile x de bağıntılı olursa bu bağıntıya simetrik bağıntı denir. Bu ifadenin
matematik dilinde yazılışı şöyledir.
β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her x , y elemanı için ( x ,
y ) Є β iken ( y , x ) Є β olursa β bağıntısı simetriktir.

ÖRNEK
İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ arkadaş olma “ bağıntısı olsun.
Bu bağıntı simetriktir. Çünkü x ile y arkadaş ise y ile x de arkadaştır.

ÖRNEK
β = { (x , y) | x + y = 3 , ve x ile y doğal sayı } bağıntısı simetriktir.
Çünkü doğal sayılar kümesinde x + y = 3 ise y + x = 3 olur.
Bu bağıntının elemanlarını yazalım. β = { (0 , 3), (3 , 0), (1 , 2), (2 , 1) }
Beta bağıntısında (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) şeklinde sıralı
ikililer yoktur.
Beta bağıntısı simetriktir ama yansıyan değildir.

Ters Simetri Özeliği

TANIM : Tanım kümesinden alınan iki farklı eleman x ve y olsun. x ile y
bağıntılı iken y ile x de bağıntılı olmaz ise bu bağıntıya ters simetrik
bağıntı denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazılışı şöyledir.
β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her farklı x , y elemanı
için ( x , y ) Є β iken ( y , x ) Ï β olursa β bağıntısı ters simetriktir.
Eşit sıralı ikililer ters simetrikliği bozmaz.

ÖRNEK
İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ uzun boylu olma “ bağıntısı olsun.
Bu bağıntı ters simetriktir. Çünkü x , y gibi farklı boyda iki insan alırsak x >
y olur ama y > x olmaz.

» Kartezyen Çarpım Bağıntı Ders Notları – Konu Anlatımı
» ÇARPIM SEMBOLÜ
» Çarpım Sembolü Ders Notları – Konu Anlatımı